本稿では、位相空間論における直積位相、プロ有限集合、完全不連結性、商写像などの基本概念を厳密に定義し、実数の区間 $ [0,1] $ があるプロ有限集合の商空間として自然に表現できることを証明する。さらに、この数学的事実がPeter Scholze氏とDustin Clausen氏による「凝縮数学 (condensed mathematics)」の枠組み、特に Liquid Tensor Experiment においてどのような思想的背景として位置付けられているのかを詳細に解説する。
証明を完全に自己完結 (self-contained) なものとするため、まずは位相空間論と圏論の基本的な概念を定義する。
有向半順序集合 $ (I, \leq) $ を添字集合とする。位相空間の族 $ (X_i)_{i \in I} $ と連続写像の族 $ p_{ij} : X_j \to X_i $ ($ i \leq j $) が逆系 (inverse system) を成すとは、任意の $ i \in I $ について $ p_{ii} = \mathrm{id}_{X_i} $ であり、$ i \leq j \leq k $ を満たす任意の $ i, j, k \in I $ について $ p_{ij} \circ p_{jk} = p_{ik} $ が成り立つことをいう。
この逆系の逆極限 (inverse limit) $ \varprojlim X_i $ は、直積空間 $ \prod_{i \in I} X_i $ の部分空間として次のように定義される。
$$ \varprojlim X_i = \left\{ (x_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I} X_i \mathrel{\Bigg|} \text{任意の } i \leq j \text{ について } p_{ij}(x_j) = x_i \right\} $$素数 $ p $ を固定し、$ X_n = \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} $ とし、これに離散位相を入れる。$ m \geq n $ に対して自然な射影 $ p_{nm}: \mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} $ を考えると、これは逆系をなす。この逆極限 $ \varprojlim \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} $ が $ p $ 進整数環 $ \mathbb{Z}_p $ であり、これは位相環となる。
有限個の点からなる離散位相空間の逆系から得られる逆極限と同相であるような位相空間を、プロ有限集合 (profinite set) と呼ぶ。
位相空間 $ X $ において、その連結成分がすべて1点のみからなる場合、空間 $ X $ は完全不連結 (totally disconnected) であるという。
位相空間 $ X $ から位相空間 $ Y $ への全射 $ f: X \to Y $ が商写像 (quotient map) であるとは、$ Y $ の部分集合 $ V $ が開集合であることと、その逆像 $ f^{-1}(V) $ が $ X $ において開集合であることが同値になることをいう。
正の整数全体の集合を $ \mathbb{N} $ と書く。以下の命題において、数字の列からなる空間がどのような位相的性質を持つかを厳密に証明する。
集合 $ X = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}^{\mathbb{N}} $ に直積位相を与えるとき、$ X $ はプロ有限集合であり、完全不連結コンパクトHausdorff空間 (totally disconnected compact Hausdorff space) である。
$ D = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} $ とおき、$ D $ に離散位相を与える。$ D $ は有限集合であるから、コンパクトHausdorff空間である。空間 $ X = D^{\mathbb{N}} $ には直積位相が与えられているものとする。
最初に、$ X $ が完全不連結コンパクトHausdorff空間であることを示す。Tychonoffの定理により、コンパクト空間 $ D $ の任意の直積空間はコンパクトであるため、$ X $ はコンパクト空間である。また、Hausdorff空間の直積空間はHausdorff空間となるため、$ X $ もHausdorff空間である。
次に、$ X $ が完全不連結であることを示す。$ X $ の部分集合 $ C $ が少なくとも相異なる2点 $ x = (x_n)_{n \in \mathbb{N}} $ と $ y = (y_n)_{n \in \mathbb{N}} $ を含むと仮定し、$ C $ が非連結であることを導く。
$ x \neq y $ であるから、ある座標 $ k \in \mathbb{N} $ が存在して $ x_k \neq y_k $ となる。直積位相の定義における自然な射影 $ \pi_k : X \to D $ は連続である。$ D $ は離散位相を持つため、$ D $ の任意の部分集合は開集合かつ閉集合 (clopen) である。したがって、部分集合 $ U = \pi_k^{-1}(\{x_k\}) = \{ z \in X \mid z_k = x_k \} $ は $ X $ における clopen な集合である。
ここで、$ C_1 = C \cap U $ および $ C_2 = C \smallsetminus U $ とおく。点 $ x $ は $ C_1 $ に属し、点 $ y $ は $ x_k \neq y_k $ より $ C_2 $ に属するため、どちらも空集合ではない。$ U $ は $ X $ で開かつ閉であるため、$ C_1 $ と $ C_2 $ は部分空間 $ C $ の相対位相における開集合である。さらに $ C = C_1 \cup C_2 $ かつ $ C_1 \cap C_2 = \varnothing $ を満たすため、$ C $ は非連結である。
以上より、$ X $ の部分集合が2点以上を含めば必ず非連結になるため、$ X $ の連結成分は1点からなる。よって $ X $ は完全不連結である。
最後に、$ X $ がプロ有限集合であることを示す。各 $ n \in \mathbb{N} $ に対し、$ X_n = D^n $ とおき、これに離散位相を与える。有限集合の直積であるため $ X_n $ は有限離散空間である。
$ m \geq n $ を満たす自然数 $ m, n $ に対し、射影 $ p_{nm} : X_m \to X_n $ を $ p_{nm}((a_1, \dots, a_m)) = (a_1, \dots, a_n) $ と定める。このとき族 $ (X_n)_{n \in \mathbb{N}} $ と射影族 $ (p_{nm}) $ は逆系を成す。この逆系の逆極限を $ Y = \varprojlim X_n $ とおく。
写像 $ \Phi : X \to Y $ を $ \Phi((a_k)_{k \in \mathbb{N}}) = ((a_1, \dots, a_n))_{n \in \mathbb{N}} $ によって定める。任意の $ n \in \mathbb{N} $ に対して $ p_n \circ \Phi = \pi_n $ （ただし $ p_n : Y \to X_n $ は逆極限からの射影、$ \pi_n : X \to D^n $ は直積空間からの射影）が成り立ち、各 $ \pi_n $ が連続であることから $ \Phi $ は連続である。
また、構成から $ \Phi $ が全単射であることは明らかである。$ X $ はコンパクト空間であり、$ Y $ はHausdorff空間 $ \prod_{n \in \mathbb{N}} X_n $ の部分空間としてHausdorff空間である。コンパクト空間からHausdorff空間への連続な全単射は同相写像となるため、$ \Phi $ は同相写像である。有限離散空間の逆極限 $ Y $ と同相であることから、$ X $ はプロ有限集合である。
次に、上で考察したプロ有限集合 $ X $ から、実数の閉区間 $ [0,1] $ への自然な写像がどのような性質を持つかを示す。
写像 $ f: X \to [0,1] $ を $ f((a_n)_{n \in \mathbb{N}}) = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n 10^{-n} $ と定めるとき、$ f $ は連続な全射であり、商写像になる。
まず、$ f $ が全射であることを示す。任意の実数 $ y \in [0, 1] $ をとる。$ y $ の10進数展開を次のように帰納的に構成する。
$ y_0 = y $ とする。$ n \geq 1 $ に対して、
$$ a_n = \lfloor 10 y_{n-1} \rfloor, \quad y_n = 10 y_{n-1} - a_n $$と定める（ここで $ \lfloor \cdot \rfloor $ は床関数を表す）。$ 0 \leq y_{n-1} \leq 1 $ と仮定すると、$ 0 \leq 10 y_{n-1} \leq 10 $ であるから、その整数部分 $ a_n $ は $ 0 $ から $ 9 $ のいずれかの整数となる。すなわち $ a_n \in D $ である。また、小数部分 $ y_n $ は $ 0 \leq y_n \leq 1 $ を満たす。$ 0 \leq y_0 \leq 1 $ であるから、数学的帰納法によりすべての $ n \in \mathbb{N} $ について $ a_n \in D $ が保証される。
この関係式から $ y_{n-1} = a_n 10^{-1} + y_n 10^{-1} $ となり、これを繰り返し代入することで、任意の $ N \in \mathbb{N} $ について以下の等式が得られる。
$$ y = \sum_{n=1}^N a_n 10^{-n} + y_N 10^{-N} $$$ 0 \leq y_N \leq 1 $ であるため、$ 0 \leq y_N 10^{-N} \leq 10^{-N} $ が成り立つ。$ N \to \infty $ の極限をとると剰余項は $ 0 $ に収束するため、
$$ y = \sum_{n=1}^\infty a_n 10^{-n} = f((a_n)_{n \in \mathbb{N}}) $$となる。構成した数列 $ (a_n)_{n \in \mathbb{N}} $ は $ X $ の元であるため、$ f $ は全射である。
次に、$ f $ が連続であることを示す。$ X $ から任意に点 $ x = (x_n)_{n \in \mathbb{N}} $ をとり、任意の $ \epsilon > 0 $ を与える。$ 10^{-N} < \epsilon $ となるような正の整数 $ N $ を選ぶ。直積位相の基本開集合として、$ x $ の近傍 $ U $ を次のように定める。
$$ U = \{ z = (z_n)_{n \in \mathbb{N}} \in X \mid \text{すべての } 1 \leq k \leq N \text{ について } z_k = x_k \} $$任意の $ z \in U $ に対して、$ f(x) $ と $ f(z) $ の距離を評価する。最初の $ N $ 項は等しいため相殺され、次を得る。
$$ |f(x) - f(z)| = \left| \sum_{n=N+1}^\infty (x_n - z_n) 10^{-n} \right| \leq \sum_{n=N+1}^\infty |x_n - z_n| 10^{-n} $$各座標は $ \{0, 1, \dots, 9\} $ の値をとるため、$ |x_n - z_n| \leq 9 $ である。これを代入すると、
$$ |f(x) - f(z)| \leq \sum_{n=N+1}^\infty 9 \cdot 10^{-n} = 9 \cdot 10^{-(N+1)} \sum_{k=0}^\infty 10^{-k} = 9 \cdot 10^{-(N+1)} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{10}} = 10^{-N} $$となる。$ N $ の選び方から $ 10^{-N} < \epsilon $ であるため、$ |f(x) - f(z)| < \epsilon $ が成り立つ。したがって、任意の $ \epsilon > 0 $ に対して適当な開近傍 $ U $ が存在して $ f(U) $ が $ f(x) $ の $ \epsilon $-近傍に含まれるため、$ f $ は点 $ x $ において連続である。$ x $ は任意であったため、$ f $ は $ X $ 全体で連続である。
最後に、$ f $ が商写像であることを示す。一般に、コンパクト空間からHausdorff空間への連続写像は閉写像 (closed map) となる。これを確かめる。$ X $ の任意の閉集合 $ C $ をとる。命題 1 で示した通り $ X $ はコンパクト空間であるため、その閉部分集合 $ C $ もコンパクトである。
連続写像によるコンパクト集合の像はコンパクトであるため、$ f(C) $ は $ [0, 1] $ のコンパクト部分集合となる。区間 $ [0, 1] $ は通常の位相によりHausdorff空間である。Hausdorff空間におけるコンパクト部分集合は必ず閉集合となるため、$ f(C) $ は $ [0, 1] $ の閉集合である。よって $ f $ は閉写像である。
全射 $ f $ が連続かつ閉写像であれば、それは商写像となる。実際、$ V \subset [0, 1] $ を任意の部分集合とする。$ V $ が開集合ならば、$ f $ の連続性により $ f^{-1}(V) $ は開集合である。逆に、$ f^{-1}(V) $ が $ X $ において開集合であると仮定する。このとき補集合 $ X \smallsetminus f^{-1}(V) $ は $ X $ の閉集合である。
$ f $ が閉写像であるため、像 $ f(X \smallsetminus f^{-1}(V)) $ は $ [0, 1] $ において閉集合である。ここで $ f $ は全射であるから、
$$ f(X \smallsetminus f^{-1}(V)) = f(f^{-1}([0, 1] \smallsetminus V)) = [0, 1] \smallsetminus V $$が成り立つ。したがって $ [0, 1] \smallsetminus V $ は閉集合であり、その補集合である $ V $ は開集合となる。以上の同値性から、写像 $ f $ は商写像である。
上記の数学的事実、すなわち「区間 $ [0,1] $ がプロ有限集合の商空間である」ことは、単なる位相空間論の演習問題にとどまらず、現代の先端数学において極めて重要な視座を提供している。2018年のフィールズ賞受賞者であるPeter Scholze氏とDustin Clausen氏は、位相空間の代わりに「プロ有限集合からの連続写像」を通じて空間を捉える凝縮数学 (condensed mathematics) という新しい枠組みを提唱した [1, 2, 3]。
Scholze氏は、文献「Liquid tensor experiment」の Example 2.3 において、凝縮数学の視点の自然さを説明するために、前節で証明した写像 $ f: X \to [0,1] $ と本質的に同じ10進展開について言及している [1]。
以上の観察から、Scholze氏は「実は高校において、我々はひそかに区間をプロ有限集合の商として考えることを学んでいるのである」と指摘している [1]。
一見すると、通常のコンパクトHausdorff空間をプロ有限集合の商として扱う凝縮数学のアプローチは、人工的で複雑なものに見えるかもしれない。しかしScholze氏は、実数の10進展開という親しみ深い概念を通して、我々が無意識のうちに区間 $ [0,1] $ を「プロ有限集合の商」として構成し扱っている事実を提示することで、凝縮数学の考え方が古典的かつ自然な現象に根ざしていることを強調しているのである。
さらにScholze氏は、同文献の「7. Arithmetic reality」において、この10進展開の考え方を発展させる形で、あるLaurent級数環からの全射について述べている [1]。これは、解析学と代数学（特にホモロジー代数）を融合させる際の困難を克服するための鍵となるアイデアである。
通常のホモロジー代数は加法に対して安定な代数構造を要求するが、実数のノルムによる有界条件を課した集合は加法に対して閉じていない（例：1以下の数同士を足すと1を超える）。また、実数は局所的にプロ有限 (locally profinite) ではないため、実ベクトル空間と、プロ有限集合から構成される凝縮アーベル群 (condensed abelian groups) の圏との間には根本的なミスマッチが存在する。
この問題を解決するために、彼は $ 0 < r < 1 $ を満たす実数 $ r $ に対して、環 $ \mathbb{Z}((T))_{> r} $ を導入した。この環は、ある $ r^{\prime} > r $ に対する複素穴あき円板 $ \{0 < |T| < r^{\prime}\} $ 上で収束するような、整数係数 $ a_{n}\in\mathbb{Z} $ を持つLaurent級数 $ \sum_{n\gg-\infty}a_{n}T^{n} $ の全体からなる。
$ r\ge\frac{1}{10} $ と仮定すると、写像
$$ \sum a_{n}T^{n} \mapsto \sum\frac{a_{n}}{10^{n}} $$によって全射 $ \mathbb{Z}((T))_{>r} \to \mathbb{R} $ が得られる。実際、これによって同型 $ \mathbb{R} \cong \mathbb{Z}((T))_{>r}/(10T-1) $ が成り立つ。
各係数 $ a_{n} $ に有界性を課すことは、それらを有限集合に制限することにほかならない。その結果として、環 $ \mathbb{Z}((T))_{>r} $ は自然にプロ有限部分集合の可算和となる。この性質により、実数が局所的にプロ有限ではないというミスマッチの問題は、実数体の代わりに $ \mathbb{Z}((T))_{>r} $ を用いて議論することによって解消される。Scholze氏は、Liquid加群に関する理論はこの $ \mathbb{Z}((T))_{>r} $ 上でも機能し、実際に定理の証明全体はこの環の上で行われると述べている [1]。
このように、形式冪級数環を拡張・制限した環からの写像を通して実数を捉え直すことが、ホモロジー代数と解析的な評価の対立を乗り越えるための重要な「Arithmetic reality（数論的現実）」であると位置づけられている。